Il buco nella sfera

[rporrini]

La sfera è abbastanza grande da contenere un cilindro lungo 6 cm.

 

[Bluto_Blutarsky]

di che materiale e' la sfera? ha senso la domanda?

 

[Cippacometa]

Ragazzi, io ho visto la soluzione... 8-O
Rporrini, tu sei pazzo! :lol:

 

[rporrini]

Ragazzi, io ho visto la soluzione... 8-O
Rporrini, tu sei pazzo! :lol:

Scusate, rischio l'OT con il forum cinema:

"Cippa, tu hai visto la luce!"

 

[rporrini]

di che materiale e' la sfera? ha senso la domanda?

No.

 

[Xarxus]

Allora il buco non va da parte a parte, il che mi fa pensare a come sia possibile fare un simile foro nella sfera... e allora se questo fosse possibile non è neanche detto che il cilindro sia ripartito equamente fra le due semisfere come tu supponevi...

Si che va da parte a parte.
Più aumenta il raggio della sfera e più aumenta il raggio della circonferenza base del cilindro, ovvero della "cupola".

Leggila così: prendo una sfera qualsiasi e gli fo un buco con un trapano(ne). L'altezza del cilindro estratto, escluse cupole, è di 6 centimetri.

Ripeto, secondo me il mio è il processo valido.... ma lo dice pure Rafè!

 

[ZioWil]

zero?

 

[Cippacometa]

ovvero della "cupola".

escluse cupole, è di 6 centimetri.

Ao', me pari Riina co tutte 'ste cupole!!!

Comunque, siete tutti fuori strada...
Io so...

 

[Kenherkia]

Anche io sò.............

 

[Xarxus]

No, non sono fuori strada... ripeto. La soluzione è un multiplo di pi greco. Ci scommetto il ciondolone.

 

[Kenherkia]

Il ciondolino..........quale multiplo però ???

 

[the_goblin]

Allora, diamo per buono il ragionamento di Xarxus, il buco è un cilindro dentro la sfera, con l'asse passante per il centro, e alto 6cm. Il volume finale, dopo che ho praticato il foro, sarà quello della sfera meno quello del cilindro, meno quello delle due cupole (calotte sferiche) che vengono asportate dal fare il buco, il quale al termine dell'operazione resta appunto lungo 6 cm. Quindi:

(A) VolFinale = Volsfera - VolCilindro - 2xVolCalotta

Fatto R il raggio della sfera qualunque esso sia, e indicando con P il pi greco, abbiamo:

VolSfera = 4/3PR^3

Ora, per il ragionamento di Xarxus precedente, che non sto a ripetere, evidentemente il raggio del cilindro si trova come cateto di un triangolo rettangolo avente 3 di altezza (metà cilindro) e R di ipotenusa, quindi:

RaggioCilindro = RadiceQuadrata(R^2 -9), o meglio
RaggioCilindro^2 = R^2 - 9

Di conseguenza, poiché il volume del cilindro è pari all'area del cerchio di base per l'altezza, abbiamo ora:

VolCilindro = 6P x RaggioCilindro^2, ovvero 6P(R^2 -9)

Restano le calotte. Il volume di una calotta sferica di altezza h in una sfera di raggio R è dato da:

Volume Calotta = 1/3Ph^2 x (3R -h)

Nel nostro caso, però, possiamo vedere con l'aiuto di un disegno che l'altezza di questa calotta, lasciata fra la base superiore del cilindro e il vertice della "cupola", è proprio R-3. Sostituendo quindi R-3 a h nella formula precedente, si ottiene quindi:

VolCalotta = 1/3(R-3)^2 x (2R+3)

Ora, mettendo insieme il tutto nella formula (A), la prima che ho scritto, facendo le dovute sostituzioni per VolSfera, VolCilindro e VolCalotta, facendo qualche sviluppo algebrico non troppo complesso (risoluzione del quadrato di binomi e addizioni algebriche), si ha una sorprendente serie di annullamenti di tutti i fattori contenenti R, da cui risulta:

VolFinale = 36P

che è evidentemente una costante, quindi non dipende in alcun modo dal raggio della sfera, né di conseguenza da quello del cilindro.

Guarda caso, il volume finale corrisponde esattamente al volume di una sfera con 3cm di raggio...

 

[rporrini]

A questo punto la soluzione non può che essere a colori:

HoleInTheSpherePrintPlay

:grin:

 

[Xarxus]

Yeppa!!! Hovintoquacchecosa?! :lol:

 

[the_goblin]

Ci tengo a far presente a lorsignori che non conoscevo né la soluzione né ho consultato alcunché per giungere all'esatta conclusione da me sopra riportata, la cui esattezza ho verificato solo ora che Raffa ha postato il link.

 

[the_goblin]

Yeppa!!! Hovintoquacchecosa?! :lol:

Si, una mentina succhiata... da Ken!

 

[rporrini]

Ci tengo a far presente a lorsignori che non conoscevo né la soluzione né ho consultato alcunché per giungere all'esatta conclusione da me sopra riportata, la cui esattezza ho verificato solo ora che Raffa ha postato il link.

Gobbo, da te non mi aspettavo di meno.

 

[Bluto_Blutarsky]

Se *attraverso il centro* in asse ad una sfera pratichiamo un foro PASSANTE cilindrico(in modo non eccentrico) lungo 6 cm, quale è il volume residuo del solido così creato?

 

[Bluto_Blutarsky]

GOBBA RULEZ

 

[Cippacometa]

http://lamar.colostate.edu/~sbenoit/rhyme.pdf

Ragazzi, io avevo trovato quest'altra (spaventosa!) soluzione, che forse piacerà al Gobbo Dottore in Matematica...