La bilancia "economica"

[Prousseau]

Dovete costruire una bilancia a due piatti che riesca a pesare qualsiasi quantità di grammi interi da 1g a 40g, ma non avete grossa disponibilità di materiale per i pesetti campione.

Qual è il numero minimo di pesetti campione da costruire (e qual è il loro valore) per una bilancia che funzioni come descritto?

Nota: ovviamente la bilancia funziona per confronto, ricercando cioè l'equilibrio dei due piatti, come ogni normale bilancia a due piatti.

 

[Firstplayer]

6.

 

[Angiolillo]

Non vorrei sbagliare, ma secondo me 4: 1 grammo, 3, 9 e 27. Ci si possono pesare cose da 1 fino a 40 grammi, con precisione di 1 grammo.

 

[Prousseau]

Non vorrei sbagliare, ma secondo me 4: 1 grammo, 3, 9 e 27. Ci si possono pesare cose da 1 fino a 40 grammi, con precisione di 1 grammo.

Sì, ma non c'è sfizio a postare indovinelli per voi...
lasciate giocare un po'...

Comunque bravo Angiolillo, la soluzione è proprio quella, dovrò trovare effettivamente qualcosa di meglio :lol:

Però, guarda caso, sono tutte potenze del 3. Qualcuno sa dimostrare perché? Il procedimento si può iterare, e si possono misurare tutte le quantità intere fino alla successiva potenza del 3 diminuita di uno e poi dimezzata. Mi spiego:
Con 1 peso si misura fino a (3alla1-1)/2=1g. Campione 3alla0=1g
Con 2 pesi fino a (3alla2-1)/2=4g. Campioni 3alla0=1g, 3alla1=3g
Con 3 pesi fino a (3alla3-1)/2=13g. Campioni i precedenti più 3alla2=9g
Con 4 pesi fino a (3alla4-1)/2=40g. Campioni i precedenti più 3alla3=27g
ecc. ecc.

 

[Angiolillo]

Ma no, era molto bello! Ci ho messo dei giorni (...non pensando solo a quello...). Comunque ok, la prossima volta soluzione i mail privata!

Bella domanda, la dimostrazione... Secondo me, ma vado intuitivamente, è che ogni peso può avere tre posizioni rilevanti: sullo stesso piatto della cosa da pesare, sul piatto opposto o su nessuno dei due piatti. Il peso da 1 può quindi valere -1, 0 o +1, quello da 3 può valere -3, 0 o +3 e così via. Le combiazioni possibili con quattro pesi non a caso sono 81 (altra potenza di 3: tre alla quarta, dove abbiamo tre come le posizioni e quarta come i quattro pesi) e si possono abbinare ai numeri da -40 a +40 (somma dei pesi positivi e negativi). Quindi, dalla dimostrazione si evince che la nostra bilancia può pesare non solo qualunque quantità di materia in grammi interi da 1 a 40, ma anche qualunque quantità di antimateria di peso compreso tra -1 e -40 (con alcune ovvie cautele nel manipolare l'antimateria stessa...). Per esempio mi accorgo che sto pesando 19 grammi di materia quando il tutto è in equilibrio se metto il peso da 9 sullo stesso piatto e quelli da 1 e da 27 sul piatto opposto; mi accorgo che sto pesando -19 grammi di antimateria nel mometo in cui tutto è in equilibrio con i pesi da 27 e da 1 sullo stesso piatto e quello da 9 sul piatto opposto.

 

[kadaj]

Non vorrei sbagliare, ma secondo me 4: 1 grammo, 3, 9 e 27. Ci si possono pesare cose da 1 fino a 40 grammi, con precisione di 1 grammo.

:cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

mica ho capito la soluzione io

:cry: :cry: :cry: :cry: :cry: :cry:

 

[Favar]

pesare 1 = 1 vs X
pesare 2 = 3 vs 1+ X
pesare 3 = 3 vs X
pesare 4 = 3 + 1 vs X
pesare 5 = 9 vs 3 + 1 + X
pesare 6 = 9 vs 3 + X

x = l'oggetto da pesare.

 

[kadaj]

Ah, ma posso usare altri oggetti di cui conosco il peso allora... :grin: :grin: :grin:

 

[Favar]

Ah, ma posso usare altri oggetti di cui conosco il peso allora... :grin: :grin: :grin:

No, no.. Non mi sono spiegato bene..

es. per pesare un oggetto che pesa 5 grammi.

Metti sul piatto A il pesetto da 9gr (che hai)
Metti sul piatto B il pesetto da 3gr e da 1gr (che hai) e quello da pesare (appunto X l-incognita).

Se hai l=equilibrio vuol dire che X pesa esattamente 5 grammi!

E ho utilizzato soltanto il 9, 3 e 1

 

[Prousseau]

Nessun altro oggetto di cui conosci il peso. Come giustamente ha indicato Favar e anche Angiolillo parlando della sua "antimateria" (ma sai che fai discorsi davvero intricati, complimenti però, mi piacciono :lol: :lol: :lol: ), per farti bastare i pesi da 1, 3, 9 e 27, devi semplicemente combinare pesetti e oggetti da pesare sui due piatti. Quindi ad es., se prendi un oggetto che pesa 2g (e non lo sai), troverai l'equilibrio mettendo il campione da 3g da una parte e l'oggetto + il campione da 1g dall'altra.
Altro esempio: oggetto ignoto pesa 23g. L'equilibrio si ha con oggetto + campione 1g + campione 3g su un piatto e campione 27g sull'altro.

 

[Prousseau]

Acc... Favar ed io stavamo scrivendo nello stesso momento, quindi ora c'è una spiegazione doppia.
Vabbè, pazienza, repetita juvant :grin:

 

[Angiolillo]

e anche Angiolillo parlando della sua "antimateria" (ma sai che fai discorsi davvero intricati

Hai ragione. E' anche vero che il discorso complicato è venuto fuori perché tu mi hai chiesto di dimostrare perché sono tutte potenze di tre... Ma chissà se ci sono riuscito!

 

[Firstplayer]

Bello.Non ci ero arrivato. Mi ero accontentato di un binario abbondante..(coprivo fino a 63).

 

[kadaj]

Leggere questo topic mi porta a sentirmi ignorante.. :lol: :lol: :lol:

 

[CapitanBarbossa]

A me fa male la testa...